第五章 转子动力学分析方法

　　当xpxr时，合成运动沿xp方向，称为正进动； 当xpxr时，合成运动沿xr方向，称为反进动； 当（1－5b）式中计算的b值为负，则表示圆盘中心运动 （进动）为反进动。 自转：圆盘绕圆盘中心的旋转 进动（公转）：弓形轴绕支点连线旋转 涡动：自转与公转（进动）的合成运动 设圆盘受到幅值为F，相位角为φF，并以进动角速度ω 旋 转的力（如不平衡质量）作用，则一周进动所作的功为：

　　1）若合成运动在直角坐标系中是线性的，变换到极坐标系中 为非线）当r或φ为常数时，使用极坐标可使运动方程简化。 固定在运动圆盘中心的坐标系 o  坐标原点：圆盘中心 坐标轴方向：沿圆盘主惯性轴方向 相对与固定坐标系oxyz的方位由三个欧拉角确定。

　　力学模型：连续质量模型——弹性体  集中质量模型——盘轴系统  本章以盘轴系统为分析模型  刚体在空间有六个自由度：沿三个垂直轴方向的平移和绕 这三个轴的转动。  理论力学：刚体运动可分解成随基点的平动和绕基点的转 动。  平动运动规律与基点选择有关；  转动运动规律与基点选择无关。  §5.3.1 描述定点刚置的欧拉角  刚体球铰定点约束：约束三个平动自由度；  只有三个转动自由度。

　　自转、公转、涡动  坐标系：定坐标系、动坐标系  模型：以Jeffect转子模型为主  §5.2.1 定坐标系运动分析  定坐标系：oxyz，轴向——oz轴  刚性盘以ω 角速度旋转（涡动）  盘中心运动方程为：  x=Xcos(ω tφ x)  y=Ysin(ω tφ y)  式中：X、Y——盘中心运动幅值  φ x、φ y——x、y方向运动的相位角

　　上式也可看成是沿两个圆轨迹的正、反进动分量的合成， 分量幅值与固定坐标系相等；正进动分量角速度ω －Ω ； 反进动分量角速度ω ＋Ω 。 §5.2.3 其它坐标系运动分析 极坐标系：orφz（图1－5） 特点：形象表示运动特性 与直角坐标系的关系

　　§5.3.2 刚体绕定点运动的角速度及速度分布 刚体的角速度为 或   所在的位置称为刚体绕定点转动的瞬时转动轴，瞬时转 动轴时刻不同，但总通过定点。  第一种定义法得到矢量 向定坐标系投影得

　　  I xy   mi xi yi 为刚体对o x 、 oy 轴的惯性积 oz  轴的惯性积 为刚体对o x 、 对一般具有圆截面的均质轴对称转子有 对均质薄圆盘有 式中：m——圆盘质量 R——圆盘直径

　　蒸汽轮机、水轮机、风机、离心分离机、泵等。 早期，研究核心部件——转子的振动 目前，整机振动、非线性振动、故障诊断、振动控制技术 （主动、被动） 模型：以Jeffect转子模型为主 本节主要内容：临界转速、涡动分析 重力影响 弹性支承影响 非轴对称转子影响、稳定性问题 初始弯曲影响 等加速过临界的特点

　　将运动方程作三角函数展开，则有 x=Xccosω t-Xssinω t y=Yccosω t-Yssinω t 消去时间t，可得运动轨迹方程。 轨迹为一椭圆，半轴分别为a、b，半轴a与x轴夹角为α 如图1－2，半轴及夹角计算公式为

　　因此，九个方向余弦中只有三个是独立的（自由度数）。  方向余弦求解复杂，采用夹角——欧拉角表示，多种定义。  1、第一种定义（图1－7）：  1)动坐标与标重合，先绕oz轴转动ψ 角——进动角；  到达oNN1z，oN称为节线)绕oN轴转θ 角——方位或挠曲角；  到达 oNN z   3)绕 o z 转φ 角——自转角；  到达 oxy z         引入坐标轴矢量 i 、j 、k 、 i 、j 、k 

　　§5.3.4 刚体运动的动能 能量定理、拉个朗日方程——运动微分方程 设刚体质量为m，基点运动方程为x(t)、y(t)、z(t)，以基点 为原点的动坐标系 oxy z  是刚体的惯性主轴，惯性矩分别 是 I x、I y、I z，则刚体的动能为

　　通常转子沿oz轴方向的运动为二阶小量，可忽略不计，即 有 z(t)=0 故转子的动能计算公式为

　　2、第二种定义（图1－8） 1)动坐标与标重合，先绕oy轴转动α 角,到达ox1yz1； 右手法则 2)绕ox1轴转β 角,到达 ox1 y1 z  3)绕 o z 转φ 角——自转角， 到达 ox y z  α 、β 结合体现进动与方位角。 令ox1、oy1、oz1单位矢量为

　　Jeffcott转子：垂直安装等截面对称转子、不计重力影响。 §5.4.1 Jeffcott转子运动微分方程 Jeffcott转子示意图（图1－10） 薄盘：h/D0.1；偏心矩：e 定坐标系：oxyz；基点：o  设自转ω 为常数，确定 o 的运动： x(t)、y(t) 或 r(t)、θ (t) 假设：扭转刚度无限大(不计扭振) 忽略轴向位移、刚性支承 轴的弯曲刚度为EJ E：弹性模量 J：截面惯性矩 运动状态及受力如图1－11

　　可见：当φF－φp≠0时，旋转力对椭圆进动要作功，且仅仅在 正进动分量作功，与反进动大小无关。进动获取的能量用 于补充阻尼消耗的能量，以维持椭圆进动。  §5.2.2 旋转（动）坐标系运动分析  定坐标系：轴承、轴承座、机架、基座等动力特性，以静 坐标系为参考，转子振动测量，也大多采用绝对式传感器。 故标系采用较多。  结构非对称动力特性分析，采用旋转坐标系较方便。  旋转坐标系：  1）oξη z  2）oz轴与固定坐标系相同  3）oξ 、oη 轴相对ox、oy轴以恒定角速  度Ω 反时针旋转。

　　§5.3.3 刚体作定点转动时的动量矩定理  H o对时间t的导数，等 动量矩定理：刚体对定点 o 的动量矩  于外力系对该点的主矩 Lo 则有

　　如果 oxy z 为刚体对o点的主惯性轴，则各惯性积为零，即 于是有 一般情况下的矢量关系如图1－9。 若刚体对动坐标系的惯性矩为常数 则有

　　对有集中质量的刚体，动量矩为  刚体在绝对运动中对的动量矩 H c ，等于刚体随质心平移动  坐标系中运动的相对于质心的动量矩 H cr。 2019/1/8 20